一、函数的奇偶性
1.定义：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；
对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数；
2.性质：
(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数；
(2) f(x),g(x)的定义域为d；
(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称；
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0；
(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x) h(x)，其中g(x)=-[f(x) f(-x)]为偶函数，h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数；
(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
3.判断方法：
(1)定义法
(2)等价形式：f(-x) f(x)=0，f(x)为奇函数；
f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。
4.拓展延伸：
(1)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称；
(2)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。
二、周期性：
1.定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当自变量x取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x t)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。
2.图象特点：
将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。
3.函数图象的对称性与周期性的关系：
(1)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a x)=f(a-x)且f(b x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)
(2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a x)=-f(a-x)且f(b x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)
(3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a x)=-f(a-x)且f(b x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：4|a-b|)
典型例题
例1：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=(x-1)·■
解：函数的定义域为x∈{x|-1≤x<1}
函数f(x)=(x-1)·■为∴f(x)非奇非偶函数
(2) f(x)=loga(-x -)
解：x∈r
f(-x)=loga(x -
=loga-
=-loga(-x -)=-f(x)
∴f(x)为奇函数
(3)f(x)=x·（- -)
解：x∈{x∈r|x≠0}
f(-x)-f(x)=-x(- -)-x(- -)
=-x(- - 1)=0
∴f(x)为偶函数
(4)f(x)=-
解：1 cosx sinx≠0
sin(x -)≠--，x∈{x|x≠2k-且x≠2k--，k∈r}
定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数
说明：
1.判断函数的奇偶性首先要检验定义域是否关于原点对称。特别应注意，求解定义域时，不能化简解析式后再求解。
2.在判断是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立时，必要时可使用等价变形形式：f(-x)±f(x)=0
例2：(1)已知：f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=x|x-2|
求x<0的解析式
解：设x<0,则-x>0
-，
说明：1.利用函数的奇偶性求解析式，要将自变量x设在所求的范围内。
2.转化带入利用定义构造方程。
(2)定义在r上的奇函数f(x)且满足f(3 x)=f(3-x)，若x∈(0,3),f(x)=2x
求：当x∈(-6,-3)时，f(x)的解析式。
解：x∈(-6,-3) -x∈(3,6),6-(-x)∈(0,3)
-
∴f(x)=-2x 6
说明：1.合理分解题意是关键。
2.此题还可以应用周期性进行求解。
例3：已知：函数f(x)的定义域为r，且满足f(x 2)=-f(x)
(1)求证：f(x)为周期函数；
(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。
(1)解：-
∴f(x)=f(x 4)
f(x)为周期是4的周期函数。
(2)解：x∈[-1,0],-x∈[0,1]
-
∴f(x)=-x,x∈[-1,0]
∴f(x)=-x,x∈[-1,1]
x∈(1,3),∴-1
-
∴f(x)=--(x-2),x∈[1,3]
-
x∈[-1,3),f(x)=--,x=-1
∴x=4n-1,n∈z
