数学考试的第四个学科特点是解法多样。教育部考试中心在解读全国高考数学考试大纲的说明中指出"一般数学试题的结果虽确定唯一，但解法却多种多样，有利于考生发挥各自的特点，灵活解答，真正显现其水平。"
在各套试卷的各题型中，都有不少试题能够一题多解。
【例1】(2007年天津卷,理10) 设两个向量-=( 2,2-cos2)和-=(m，- sin)，其中，m，为实数。若-=2-，则-的取值范围是( )。
(a)[-6，1] (b)[4，8]
(c)[-∞，1] (d)[-1，6]
【解】本题给出两个共线向量和三个参数，m，，需要确定-的取值范围，这种题目也不太常见，因为是选择题，我们可以从不同的角度用不同的方法来解决。
解法1:可以根据选项提供的数据，用逆向化策略和特殊化策略，通过选取特殊值进行排除。 -
设-=4，则4m 2=2m，m=-1， =-4。由第二个等式得16-cos2=-1 2sin，即17=cos2 2sin这是不可能的，因而排除(b)，(d)。
再设-=-8，则-8m 2=2m，m=-，=--，由第二个等式--cos2=- 2sin，即-=cos2 2sin=-(sin-1)2 2≤2
这同样是不可能的。因而排除(c)。故选a。
解法2：如果-是一个整体，则可以对和m分别求出取值范围，再进行整合。 由解法1，有
-
消去得4m2-9m 4=cos2 2sin，
由于-2≤cos2 2sin=
-(sin-1)2 2≤2，
则有-2≤4m2-9m 4≤2，解得-≤m≤2(m≠0)。
由=2m-2得--≤≤2，进而可求得-6≤-≤1，故选a。
以上两个解法运用了特殊与一般的数学思想(解法1)， 函数与方程思想和分解与组合的思维方法(解法2)。
【例2】(2007年全国ⅰ卷，理22)已知数列{an}中a1=2，an 1=(--1)(an 2)，n=1，2，3，…
(ⅰ)求{an}的通项公式；
(ⅱ)若数列{bn}中b1=2，bn 1=-，n=1，2，3…,
证明：-
【解】(ⅰ)an的通项公式为an=-[(--1)n 1]，n=1，2，3…。
解：用数学归纳法证明。
(ⅰ)当n=1时，因-<2，b1=a1=2，所以-
(ⅱ)假设当n=k时，结论成立，即-
当n=k 1时，
bk 1--=---
=-
=->0
又 -<-=3-2-
所以bk-1--
=-
<(3-2-)2(bk--)
≤(--1)4(a4k-3--)
=a4k 1--。
也就是说，当n=k 1时，结论成立。
根据(ⅰ)和(ⅱ)知-
【例3】(2007年辽宁卷，理22)已知函数f(x)=e2x-2t(ex x) x2 2t2 1，g(x)=-f'(x)。
(i)证明：当t<2-时，g(x)在r上是增函数；
(ii)对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，t>k 时，g(x)在闭区间[a，b]上是减函数；
(iii)证明：f(x)≥-。
【解】(i)f'(x)=2e2x-2t(ex 1) 2x，
g(x)=-f'(x)=e2x-t(ex 1) x，
g'(x)=2e2x-tex 1=2(ex--)2 1--，
因为t<2-，则1-->0，所以，g'(x)>0，
所以，当t<2-时，g(x)在r上是增函数。
(ii)本题等价于存在实数k，当t>k时，在闭区间[a，b]上g'(x)<0；
由g'(x)=2e2x-tex 1<0，t>2ex e-x令h(x)=2ex e-x，
由于h(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，所以，h(x) 一定有最大值，设该最大值为k，则必有t>k，
于是，当t>k=(2ex e-x)max时，有g'(x)<0 ，即g(x)在闭区间[a，b]上是减函数；
(iii)证明：把f(x)看作t的函数，
设f(t)=2t2-2(ex x)t e2x x2 1，则f(t)=2(t--)2 -(ex-x)2 1≥-(ex-x)2 1。
设h(x)=ex-x则h'(x)=ex-1
所以，h(x)的最小值为1，从而h(x)=ex-x≥1于是，f(t)=-(ex-x)2 1≥-，即f(x)≥-。
【例4】(2007年重庆卷，理，文)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1>1，且6sn=(an 1)(an 2)，n∈n。
(ⅰ)求{an}的通项公式；
(ⅱ)设数列{bn}满足an(--1)=1并记tn为{bn}的前n项和，求证：
3tn 1>log2(an 3)，n∈n。
【解】(i)由a1=s1=-(a1 1)(a1 2)，解得a1=1或a1=2，
由假设a1=s1>1，因此a1=2，
又由an 1=sn 1-sn=-(an 1 1)(an 1 2)--(an 1)(an 2)，
得(an 1 an)(an 1-an-3)=0，
即an 1-an-3=0或an 1=-an，因an>0，故an 1=-an不成立，舍去。
因此an 1-an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{an}的通项为an=3n-1。
(ii)证明：用比较法。由an(--1)=1可解得
bn=log2(1 -)=log2-；
从而tn=b1 b2 …… bn=log2(-·■……-)。
因此3tn 1-log2(a
