二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。
例1：已知定点a(2,0)，点p在曲线x2 y2=1(x≠1)上运动，∠aop的平分线交pa于q，其中o为原点，求点q的轨迹方程。
解: 设q(x,y),p(x1,y1)
-=(x-2,y)
-=( x1-x,y1-y)
又∵-=-=-
∴ -=2-
即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)
-
解得：-
代入x12 y12=1(x≠1)有：
-(3x-2)2 -y2=1(x≠-)
即所求轨迹方程为：
(x--)2 y2=-(x≠-)
【点拨】用该方法解此类问题简单明了，若将q视为线段ap的定比分点，运用定比分点公式解本题，则计算过程既繁琐又容易出错。
例2：设过点p(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a、b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点，若-=2-,且-·■=1,求p点的轨迹方程。
解：-=2-
∴p分有向线段-所成的比为2
由p(x,y)可得b(0,3y),a(-x,0)
∴- =(--x,3y)
∵q与p关于y轴对称, ∴q(-x,y),-且 =(-x,y)
∴由-·■=1可得-x2 3y2=1(x>0,y>0)
即所求点p的轨迹方程为-x2 3y2=1(x>0,y>0)
【点拨】求动点轨迹方程时应注意它的完备性与纯粹性。化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点。
三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。
例1：如图，过定点a(a,b)任意作相互垂直的直线l1与l2，且l1与x轴相交于m点，l2与y轴相交于n点，求线段mn中点p的轨迹方程。
解：设p(x,y)，则m(2x,0)，n(0,2y)
-=(2x-a ,-b)
-=(-a,2y-b)
由-⊥-知-·■=0
∴(2x-a)(-a) (-b)(2y-b)=0
即所求点p的轨迹方程为2ax 2by=a2 b2
【点拨】用勾股定理解本题，运算繁琐，若用斜率解本题，又必须分类讨论，用向量的方法避免了上述两种方法的缺陷，使解题优化。
例2：过抛物线y2=8x的焦点f的直线交抛物线于a,b两点，过原点o作om⊥ab，垂足m，求点m的轨迹方程。
解：设m(x,y), om⊥ab，f(2,0)
∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)
∴x(2-x)-y2=0，即：x2 y2-2x=0
∴点m的轨迹方程为x2 y2-2x=0
